Canções Matemáticas - Parte 2

Seguindo a série de músicas para ajudar nas aulas de produtos notáveis, segue uma adptação da primeira para o quadrado na diferença. Acompanhe a letra:

Quadrado da Diferença: (a - b)^2 = a^2 - 2.a.b + b^2

"Eu vou te ensinar, de um jeito formidável

a desenvolver produto notável

Você quer aprender, tome cuidado para e pensa

Vamos aprender 'quadrado da diferença'

Pára! Aqui tem um 'tchan' especial:

No meio vai o menos

No meio vai o menos (2x)

(no pau!)

Quadrado do primeiro, 

menos duas vezes o primeiro vezes o segundo (eco)

maaais

Quadrado do segundo!"

Que belezaaa....

0,999... é igual a 1?

Você já parou para pensar que se a dízima periódica 0,999... é igual a 1? De fato isto é uma verdade que pode ser provada de diferentes maneiras. Acompanhe uma delas:

Seja x = 0,9999...
Então 10.x = 9,9999...
Logo, 10.x - x = 9,9999... - 0,9999...
Chegamos que 9.x = 9 e, portanto, x =1.

Esta é uma maneira de se explicar de forma satisfatória para alunos do 8o ou 9o ano do ensino fundamental.

Para alunos do ensino médio ou professores, pode-se utilizar também a série convergente. Veja:


Segue que 0,9999... é a mesma coisa que 0,9999... = 9/10 + 9/100 + 9/1000 + ... + 9/10^n + ...

Perceba que a soma "não para" ou "não tem fim". Não tem um último 9 lá na direita. Somas desse tipo, com infinitos termos, são conhecidas como séries em matemática. O jeito de se tornar esse negócio de "soma infinita" ou série rigoroso é visto num curso de cálculo ou de análise.
No colégio, vemos apenas uma série, a série geométrica. Se x é um número real tal que -1 < x < 1, então segue que:

1 + x + x^2 + x^3 + ... + x^n + ... = 1/(1-x)

Vamos voltar ao nosso 0,9999.... .

0,9999... = 9/10 + 9/100 + 9/1000 + ... + 9/10^n + ...

Vamos fatorar o 9 no termo da direita:

0,9999... = 9* (1/10 + 1/100 + 1/1000 + ... + 1/10^n + ...)

Vou chamar essa expressão de A.

Agora, olhando a nossa série geométrica, com x = 1/10, temos que:

1 + 1/10 + 1/100 + ... = 1/(1-1/10) = 10/9.

Então, subtraindo 1 dos dois lados,

1/10 + 1/100 + 1/1000 + ... = 1/9.

Substituindo isso na nossa expressão A, chegamos que

0,999999... = 9 * 1/9 = 1.

 
Fontes: http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.0.9…
http://mathforum.org/library/drmath/view…

Curioso não?

Qualquer dúvida escrevam que terei prazer em atender.

Canções Matemáticas - Parte 1

Olá pessoal. Veja um vídeo de uma das músicas que cantei para ensinar produtos notáveis aos alunos do cursinho da UFSCar. Acompanhe a letra:

Quadrado da Soma: (a + b)^2 = a^2 + 2.a.b + b^2

"Eu vou te ensinar, de um jeito formidável

a desenvolver produto notável

Você quer aprender, não enrola e não embroma

Vamos aprender 'quadrado da soma'

(no pau!)

Quadrado do primeiro, 

mais duas vezes o primeiro vezes o segundo (eco)

maaais

Quadrado do segundo!"

Não liguem para a qualidade do vídeo e áudio. Tudo é produzido com sérias restrições orçamentárias! hahahaha

Em breve mais vídeos legais...

Piadinhas Infames - Parte 2

Veja o seguinte paradoxo:

Se um pedaço de queijo suíço tem muitos buracos, logo quanto mais queijo, mais buracos.
Se cada buraco ocupa o lugar do queijo, logo quanto mais buracos, menos queijo.
Se quanto mais queijo, mais buracos e quanto mais buracos, menos queijo, logo... Quanto mais queijo, menos queijo!

Curioso não?! Uhauhahuahahu

Frases célebres - Parte 1

"Meça o que é mensurável, e torne mensurável o que não é."

(Galileu Galilei  - cientista italiano) 

Piadinhas Infames - Parte 1

Jesus disse aos seus apóstolos:
- Irmãos, y = ax²+bx+c…
Os apóstolos, confusos, respoderam:
- Mas Senhor… O que é isso?
Jesus disse:
- Apenas uma parábola.

Por que 'esquecemos' a matemática?

Leia o texto e reflita, seja você aluno ou professor:

Na tela da TV, vemos dois personagens discutindo. A campainha toca, vamos ver quem chama e, quando voltamos, um dos personagens foi morto a tiros. "Ele foi assassinado pelo outro personagem", concluímos. Nosso cérebro se especializou em unir os pontos mesmo quando faltam alguns pontos.

Então um dia faltamos a uma aula de matemática, ou deixamos de fazer uma lista de exercícios. "Tudo bem", pensamos. "Depois eu consigo captar o que perdi pelo contexto." E, pensando assim, faltamos a outra aula, deixamos de lado outra lista. E mais outra.

Muita gente vai mal em matemática porque pensa desse jeito. Quem pula um degrau em pouco tempo está dizendo "não tenho jeito pra coisa". Um exemplo: "Considere o conjunto R x R, diz o texto num livrinho didático. "Se denotamos o elemento (0,1) por i, é razoável escrever que i^2 = -1, visto que (0,1)^2 = - (1,0)." O redator presume que o leitor estudou a matemática do ensino médio (plano cartesiano, produtos cartesianos, operações com pares ordenados). Muita gente com faculdade, contudo, acharia as duas frases intransponíveis.

Como o aficcionado por matemática se lembra de todos os detalhes para decodificar frases assim? Ele sabe que a matemática não envelhece nem apodrece, mas também que a matemática evapora. Se uma pessoa não pula nenhuma aula e faz todos os exercícios, mesmo assim, com o tempo, ela vai se esquecer do que aprendeu. Um degrau evaporado é como um degrau pulado: ele tornará os outros degraus difíceis de galgar.

Essa ideia me surgiu quando eu observava vários professores de matemática batendo papo. Um deles tirou um livro da pasta e disse:

- Esse autor define as operações com progressões geométricas de um jeito tão interessante!

Os outros professores fizeram uma rodinha em torno dele e do livro e conversaram sobre o assunto um tempão; examinaram o texto, os exemplos, os exercícios. Riram muito. Eles se dispuseram a rever as PGs só para entender como o autor se virou para explicar um assunto que eles conhecem bem.

Minha hipótese: quem é bom de matemática é bom não só porque avança degrau por degrau, estudando uma coisa difícil por vez, mas também porque revê o que já sabe, ou seja, dá manutenção nos degraus compreendidos lá atrás, e os impede de evaporar.

Editorial escrito por Márcio Simões - publicado em Revista Cálculo - Matemática para todos. São Paulo: Editora Segmento. Ano 1. Número 5, 2011.

O número Pi é mesmo irracional?

Certa vez um aluno fez a seguinte questão ao seu professor de Matemática: "Se o número Pi é obtido através da divisão do comprimento (C)  de uma circunferência pelo seu diâmetro (d), então ele é obtido de uma fração C/d. Dessa forma, ele não seria um número racional?"

De fato, essa é uma questão muito debatida quando se fala do número Pi. Mas para que você não se confunda, vamos lembrar primeiro a definição de número racional:

Um número "m" é racional se pode se, e somente se, pode ser escrito na forma p/q, onde "p" e "q" são números inteiros e "q" é diferente de zero.

No caso da circunferência, é possível mostrar de várias maneiras que podemos ter o comprimento "C" e/ou o diâmetro "d" não inteiros. Dessa forma, C/d não seria racional e, portanto, Pi seria irracional.

É muito legal levantar essa questão em sala de aula para que os alunos reflitam e possam aprender muito mais.

Veja mais sobre o Pi no vídeo abaixo:

Olha que impressionante essa garota - ela consegue dizer os 500 primeiros algarismos do número Pi em 90 segundos:

Postem mais curiosidades sobre essa fantástica descoberta da Matemática!

10 coisas que um professor nunca vai fazer!

Vejam as 10 coisas que um professor pode querer fazer se surtar... hehe. Vale a pena conferir o vídeo!

Twitter e Facebook melhoram notas dos estudantes.

Veja a matéria do Estadão no link a seguir: http://t.co/Xtvw3Jf

Um vídeo antigo mas que recorda bons tempos...

Vídeo da aula dica do cursinho da UFSCar há 2 anos atrás. Saudades desse pessoal e de uma época da qual só levei coisas boas para o resto da minha vida. Uma equipe sensacional, a qual tive a honra de coordenar e aprender muito. Vejam na íntegra, deem boas risadas e tentem sentir a emoção que ele traduz.

Início de um novo projeto!

Olá. Embreve estarei começando esse novo projeto, sempre visando oferecer novas aprendizagens aos meus alunos e também divulgar temas interessantes e dicas sobre matemática e outros assuntos para quem se interessar.